Books-Misc: 2005年6月アーカイブ
面白い。
数学の上達ノウハウ本ではなく、数学能力をかなり科学的に分析した研究本。
■計算には運動性が伴う
１，２、それ以上はたくさん、と数える民族は実際にいるらしい。私たちは数を指折り数えるがこれだと、片手で５、両手で１０が限界である。さらに足の指まで動員すると20まではいける。パプアニューギニアのユプノ族は、左手→右手→左足→右足→左耳→右耳→左目→右目→鼻→左の小鼻→右の小鼻→左胸→右胸→へそ→左の睾丸→右の睾丸→ペニスまで身体の部位に数字を割り当てることで３３まで数えるそうである。複数人数で数えることでさらに大きな数を数える民族もあるという。
こうした数え方は文化によって違う。だが、違わない部分が発見されている。脳の中に、人間が生物学的に受け継いだ数の認識モジュールがある。このモジュールは４つくらいまでの数を認識できる。この本で紹介された実験では乳児でも、４つくらいまでの数を見分けている。
そして、数のモジュールの計算には上述の指折り数えることが深く関わっているのではないかという仮説が示される。指の数など身体部位の認識ができなくなるゲルストマン症候群の患者は、計算もできなくなる。計算には身体イメージや運動性が深く関わっていることが分かってきたという。
脳に損傷を追った患者をたくさん調べていくと、特定の部位を損傷することで、足し算だけできない人、引き算だけできない人、もしくは掛け算、割り算だけできない人がいることが判明する。数の大小や順序が分からなくなる人もいる。基礎的な計算能力については脳にビルトインされた専用回路がいくつもあるようだ。
しかし、数学的天才はこの数のモジュールの性能が高いから、天才であるというわけではないことが後半で示される。
■生物学的な「数のモジュール」と文化的な「概念ツール」
数学者ガウスは子供時代に教師から「１から100までを順に足したら合計はいくつか」という問題を出されたとき即答して周囲を驚かせたそうだ。
彼は、
1+100=101
2+ 99=101
3+ 98=101
...
だから、101×50が答えになることをその場で思いついたか、知っていた。
計算の天才マーティン・ガードナーは777の二乗を計算するとき、まず777に23を足して計算しやすい800にした。彼は100までの二乗ならば答えを暗記していたので23の二乗は529だとすぐに分かった。
そこで、
（777+23）×（777-23）＋529
＝（800×754）＋529
を計算し、603729という答えを瞬時に計算した。
800×754は3桁の掛け算だが、実際には8×754を100倍するだけなので暗算も易しい。方法は違いそうだが、ガードナーは5桁の掛け算も似たようなトリックで、瞬時に計算できたらしい。
累乗計算の世界記録保持者ウィム・クラインは100桁の数の13乗を2分以下で行うことができるという。彼は150までの整数の対数を丸暗記してこの計算に用いている。
膨大な量の答えの暗記、計算の分割方法の知識が計算速度を飛躍的に高める文化概念ツールとして機能していると著者は指摘する。日本の珠算の上級者は暗算のときに頭の中でソロバンを動かすらしいが、これもツールの例といえそうだ。
つまり、生物学的な数のモジュールの能力個体差は小さいが、概念ツールを持つ人、持たない人の能力差は歴然としてしまうということ。数学の天才は概念ツールが生み出している可能性があるというのがこの本の見解。
最近、数学の国際コンテストで上位の中国では、日本とは違った九九の記憶法が取り入れられているらしい。１を掛けるものは省略。３×５と５×３は、３の段でやったら5の段では同じことなので省略し、５×５からはじめる。これによって九九の暗記項目が81個から36個に激減すると同時に、掛け算の処理の内容の理解が深まるという。数学に強いインドでは力技で20×20まで暗記させるというが、こうしたツールの有無が、日本が追い抜かれた理由なのかもしれない。
■一人で取り組んだ時間
数学の達人を作り上げたのは、一人で意図的な訓練に取り組んだとんでもなく長い時間であるというのがこの本の結論である。達人はそうでない人に比べて圧倒的に、練習時間が長く、無数の概念ツールを暗記していたり、組み合わせて使う工夫の知識を持っている。
音楽大学における調査では、天才的奏者は1万時間の練習を経ているが、平凡な奏者は4千時間程度だったそうだ。そして大抵は、天才たちは好き好んで一人で練習している。同じように、教育においては数学の学習を楽しく行うことで、上手になる循環環境をつくることが大切だとする。
伝説のインドの天才数学者ラマヌジャンは、貧乏で進学できなかった子供時代、一人で分厚い数学の辞典「純粋数学および応用数学における基本結果概要」にでてくる5000の公式、方程式を丸暗記していた。あるとき、彼は自分の数に関する考えを手紙に書いて、ケンブリッジ大学の数学教授へ送る。これを書いた人物が天才であることは間違いないと判断されて、大学への道が開かれたそうだ。好きで一人で取り組むことが、天才への道らしい。
この本の後半では数学的思考を説明するための問題がいくつか登場する。電車の中で意味を一人で取り組んでみた。30分以上も考えて、やっと納得した問題が以下。
「
スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません）
答えは3分の2
「スミス夫妻には子どもが二人いる。上の子は男の子、では下の子が女の子である確率は？」（双子ではありません）
答えは2分の1
二つの似た質問に対してなぜ答えがそうなるのか、異なるのか、直感的に分かる人は数学的思考ができる人なのだろう。どちらも2分の1だと思ってしまった私はまだまだダメでした。
