情報考学　Passion For The Future

この本に載っているかは知りませんが、こんな面白い問題もあります。

「ある番組で、３つの扉の中から１つを選ぶと、その扉の後ろにある賞品がもらえるという企画があり、1つの扉には車、残り２つの扉の後ろにはヤギがいます。
あなたが１つ扉を選んだ後で、司会者はあなたが選んでいない、かつ後ろにヤギがいる扉を開けます。ここで、あなたは扉の選択を変更するチャンスが与えられます。
ヤギよりも車をもらったほうが嬉しいという前提で、扉を変えた方が得でしょうか？」

答え合わせです．

「
スミス夫妻には子どもが三人いる。ふたりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません）

答えは4分の3

これは正しいですか？

/* ネタばれを含んでますので問題がありましたら削除してください */

本文中の例題は数学というより言葉のあやのような…

著者としては、
「
スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません）
では、男の子を○、女の子を●としたとき、
（上の子、下の子）の組み合わせは
（○、○）、
（○、●）、
（●、○）、
（●、●）
の4通りで、
そのうちの、一人も男の子がいない組み合わせである
(●、●)
を除いた3通りの組みの中から、女の子を含む
（○、●）、
（●、○）
を選んで、男の子と女の子の生まれる確率は
同様に確からしいとして答え2/3といいたいのでしょう。

ですが、「ひとりは男の子だとわかっている。」という文のみでは、
「ふたりのうち少なくともひとりは男の子だとわかっている」
とまで解釈することはできません。
その文意を判断する力は数学とは別のところに存在しますし、
むしろそのような類推は数学的正確性の欠如と考えられます。

やられました〜。３０秒ほど考えて、やっとわかりました。あとの問題を先に聞いてくれれば、わかったかもしれませんけど（＾＾；
って、負け犬の遠吠えだな〜。

>「ひとりは男の子だとわかっている。」という文のみでは、
>「ふたりのうち少なくともひとりは男の子だとわかっている」
>とまで解釈することはできません。

なんで？

>>「ひとりは男の子だとわかっている。」という文のみでは、
>>「ふたりのうち少なくともひとりは男の子だとわかっている」
>>とまで解釈することはできません。

>なんで？

「ひとりは」という言い方は上か下かどちらかを特定して指す意味としても受け取れるからでしょう。

２問ならんで出題されているところから、この「ひとり」は上の子あるいは下の子をさした「ひとり」ではない意味としての「ひとり」なんだろうな、と意を汲むのがふつうでしょうが、なみさんがおっしゃるように、こうやって「意を汲む」のは数学的態度とは言い難いですね。

原文ではちゃんと「ふたりのうち少なくともひとりは」という言い方になっていたのに和訳する際にぬかったのではなかと推測します。

おもしろい記事ですね。(本は読んでませんが)公式を丸暗記と言っても、どういった場面で力を発揮するか(組み合わせとか)理解してるから暗記できたんじゃないかなぁとか思ったり。

>（777+23）＋（777-23）＋529
は
（777+23）*（777-23）＋529
の間違いですね

>>（777+23）＋（777-23）＋529
>は
>（777+23）*（777-23）＋529
>の間違いですね

>なぜ数学が「得意な人」と「苦手な人」がいるのか

橋本氏は「苦手な人」だった、というオチだろ。

ご指摘ありがとうございます。
式を修正しました。

＞橋本氏は「苦手な人」だった、というオチだろ。

文系人間ですのでオチというより前提ということで。。。

コメントも含め、非常に楽しく読ませていただきました。

数学的思考（ベイズの定理？）ができていたのか、
幸い問題は正しく解けたのですが、
最初「双子じゃない」という条件を見て

「双子だったら絶対同性になっちゃうからなー」

と思った自分は、生物学的思考ができていないようです(^^;

で、双子で同性or異性が生まれる確率がどれくらいかググってみたら、
一卵性と二卵性の確率はだいたい２：１であるとか、
一卵性でも世界で数十例ほど異性が生まれたケースがあるとか、
二卵性でも理論値では1/2だけど実際は同性に偏っているとか、
本当かどうかはわかりませんが、興味深い情報ができてきました。

http://br-apc.net/test/read.cgi/apc/000019/831-837

２３の２乗を暗記しているなら
777^2=(800-23)^2
=800^2+(800*-23)*2+23^2
=640000+(-18400*2)+529
=640000-36800+529
=603729
の方が簡単じゃない？
それと２３の２乗もこうすれば暗算楽かな
23^2=(20+3)^2
=20^2+(20*3)*2+3^2
=400+60*2+9
=529

shunnさんのコメントに対する個人的な意見なので厳しい反論はご容赦を．．．

２乗についての暗算には項の数（九九などで記憶している掛け算処理後の項の数）が多くないインド人の例が楽な方法だと思っています．項の数を多くすることは紙に書かない暗算ではお勧めできないと思います．

shunnさんのコメント中の２つめの方法は有名な(A*10+5)^2などのようにうまく２項目が整理できる一部の形式の時は非常に有効で
(A*10+5)^2=A(A+1)*100+25
が成立します．
ex. 25*25=625, 35*35=1225

なみ氏の説明で言いたいことは判るのだが、
どこが問題なのかよくわからない。

「●●」「●○」「○●」「○○」という四択
がそもそもの間違いであって、実際には、一人が
男（●）と条件が決定した時点で、「●●」「●○」
の二択になっている。

なぜなら、「○○」が排除されるのは当然として、
「●○」「○●」は片方が決定されている時点で
等価になっているから。

生まれた順序を考慮に入れるから判りづらくなるが、
実際には、兄弟姉妹だろうが二卵性双生児だろうが、
単純化すれば、
「●○」=先頭が最初に確定した条件
であって、最初に一人は男の子と決定した時点で
「○●」はありえない。

結果的にこの問題は「●●」「●○」の二択でしか
ない。

つまり、この問題は、単純なデータに「生まれた順序」
という別種の概念を故意に混同させることで問題を
ややこしくしている。

だから、この問題はそこに気付くかどうかが「問題」
であって、数学的思考というより日本語から「どこか
おかしい」と感じるかどうかの感性の問題と思われる。

>しろ氏
中学校の数学の参考書でもやられてはどうですか？
どうも根本的な間違いを犯されてそうなので。

>橋元氏
有名な数の数え方に、指を「折る」と「伸ばす」を0と1に対応させて2進法として数えるというものもあります。両手を使えば1024個の数を数えることが可能です。

問題を見たときに

「子供が男か女かなんて確率以前の問題じゃね？」

とか思った僕は数学苦手…orz

順番を考慮したら。

（○、●）
（●、○）
（●、●）
（●、●）

ってことにはならないの？

↑●:男、○:女です。
　紛らわしくてゴメン

私が他のサイトに書いたコメントを転載します．

TOTO（サッカーくじ）の
一等（全試合正解）の確率と
二等（一試合を除き全試合正解）の確率も
似た感じですよね！

一等みんな男兄弟
二等一人を除きみんな男の兄弟

「スミス夫妻はサッカーくじを１つ買いました。二等以上（一等か二等）であることは分かっている。では二等である確率は？」

とおりすがりの者です

スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません）

の解答に紛れが生じる原因を考えてみました．
端的には，「もうひとり」の使われる状況が
日常会話にない状況だからだと思います．

問題文の状況を整理するとこうなります：

・二人の子供がいる
・どちらか知らないが男の中はその中にいる
・その男は二人いるかもしれないので，
その場合は無作為に選ばれているとする
（あるいは例えば年長の方を選ぶことに決めてもよい．
この部分は一見曖昧だが，結論はどうやっても同じ）
・そして，選ばれなかったもう一方の子供は女か？

ここで「もうひとり」が，誰に対するもう一人なのかを
明示せず，これこれの規則で選ばれた人に対する
もう一人，という抽象的な意味で用いられている
ことに注意してください．これが確率が
３分の２になる原因だと思います．

（なおこの問題でも，男の子がいるという情報のほかに
一人の子供をさして「この子は男の子だよ」という情報
が与えられれば，確率はもちろん２分の１です．）

とおりすがりの者です

スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません）

の解答に紛れが生じる原因を考えてみました．
端的には，「もうひとり」の使われる状況が
日常会話にない状況だからだと思います．

問題文の状況を整理するとこうなります：

・二人の子供がいる
・どちらか知らないが男の中はその中にいる
・その男は二人いるかもしれないので，
その場合は無作為に選ばれているとする
（あるいは例えば年長の方を選ぶことに決めてもよい．
この部分は一見曖昧だが，結論はどうやっても同じ）
・そして，選ばれなかったもう一方の子供は女か？

ここで「もうひとり」が，誰に対するもう一人なのかを
明示せず，これこれの規則で選ばれた人に対する
もう一人，という抽象的な意味で用いられている
ことに注意してください．これが確率が
３分の２になる原因だと思います．

（なおこの問題でも，男の子がいるという情報のほかに
一人の子供をさして「この子は男の子だよ」という情報
が与えられれば，確率はもちろん２分の１です．）

とおりすがりの者です

スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません）

の解答に紛れが生じる原因を考えてみました．
端的には，「もうひとり」の使われる状況が
日常会話にない状況だからだと思います．

問題文の状況を整理するとこうなります：

・二人の子供がいる
・どちらか知らないが男の中はその中にいる
・その男は二人いるかもしれないので，
その場合は無作為に選ばれているとする
（あるいは例えば年長の方を選ぶことに決めてもよい．
この部分は一見曖昧だが，結論はどうやっても同じ）
・そして，選ばれなかったもう一方の子供は女か？

ここで「もうひとり」が，誰に対するもう一人なのかを
明示せず，これこれの規則で選ばれた人に対する
もう一人，という抽象的な意味で用いられている
ことに注意してください．これが確率が
３分の２になる原因だと思います．

（なおこの問題でも，男の子がいるという情報のほかに
一人の子供をさして「この子は男の子だよ」という情報
が与えられれば，確率はもちろん２分の１です．）

スミス夫妻の問題が変に見える人は、文系の思考をされているんだと思います。

・箱に２個の球が入っている
・球は必ず赤か白である
・１個は赤であることが解っている

という条件で、もうひとつが白である確立は？と聞かれれば、何の違和感も無く３分の２って答えると思うんですよ。
以下の条件から、最後のひとつを消せるからです。（下の条件は箱の中身が解らない場合）

赤・赤
赤・白
白・赤
白・白

要するにあの問題が言いたい事は、「数学的な思考の難しさ」なんではないかと思うんだけど。
文章として提示された物から、「条件」や「要素」をキチンと整理する過程ってのは、間違いなく「数学的」でしょう。

ちなみに、二つあるうちで下の問題が２分の１であるのは、上で提示した条件から下二つを消せるからです。
最初に取り出すものが赤と確定した時点で、次に取り出すものが白である確立は？と聞いているからです。

ここで違和感を感じていらっしゃる方々は、「同様に確からしい」という概念をきちんと（教科書的に）理解されていないことに原因があるような気がしました。

2つのサイコロの出た目の組で、「2･3」と出る確率は「3･3」と出る確率より多いです。つまり、（2，3）という”組み合わせ”と（3，3）という”組み合わせ”は同様に確からしい事象ではないです。男の子女の子を、並べる順番を込めて考えないといけないのは、同様に確からしい事象が”組み合わせ”ではなく”順列”だからです。

ここで違和感を感じていらっしゃる方々は、「同様に確からしい」という概念をきちんと（教科書的に）理解されていないことに原因があるような気がしました。

2つのサイコロの出た目の組で、「2･3」と出る確率は「3･3」と出る確率より多いです。つまり、（2，3）という”組み合わせ”と（3，3）という”組み合わせ”は同様に確からしい事象ではないです。男の子女の子を、並べる順番を込めて考えないといけないのは、同様に確からしい事象が”組み合わせ”ではなく”順列”だからです。

屁理屈をこねてみた。

・箱に２個の球が入っている
・球は必ず赤か白である
・１個は赤であることが解っている

赤の球と白の球が１／２の確率で入っているとは書いてないなぁ。赤10000個と、白10個から抽出してたとしても上の条件と同じだ。そーゆー暗黙知は、どうなのかしらん。

当然男女の出生率も違いますしねｗ