なぜ数学が「得意な人」と「苦手な人」がいるのか
面白い。
数学の上達ノウハウ本ではなく、数学能力をかなり科学的に分析した研究本。
■計算には運動性が伴う
１，２、それ以上はたくさん、と数える民族は実際にいるらしい。私たちは数を指折り数えるがこれだと、片手で５、両手で１０が限界である。さらに足の指まで動員すると20まではいける。パプアニューギニアのユプノ族は、左手→右手→左足→右足→左耳→右耳→左目→右目→鼻→左の小鼻→右の小鼻→左胸→右胸→へそ→左の睾丸→右の睾丸→ペニスまで身体の部位に数字を割り当てることで３３まで数えるそうである。複数人数で数えることでさらに大きな数を数える民族もあるという。
こうした数え方は文化によって違う。だが、違わない部分が発見されている。脳の中に、人間が生物学的に受け継いだ数の認識モジュールがある。このモジュールは４つくらいまでの数を認識できる。この本で紹介された実験では乳児でも、４つくらいまでの数を見分けている。
そして、数のモジュールの計算には上述の指折り数えることが深く関わっているのではないかという仮説が示される。指の数など身体部位の認識ができなくなるゲルストマン症候群の患者は、計算もできなくなる。計算には身体イメージや運動性が深く関わっていることが分かってきたという。
脳に損傷を追った患者をたくさん調べていくと、特定の部位を損傷することで、足し算だけできない人、引き算だけできない人、もしくは掛け算、割り算だけできない人がいることが判明する。数の大小や順序が分からなくなる人もいる。基礎的な計算能力については脳にビルトインされた専用回路がいくつもあるようだ。
しかし、数学的天才はこの数のモジュールの性能が高いから、天才であるというわけではないことが後半で示される。
■生物学的な「数のモジュール」と文化的な「概念ツール」
数学者ガウスは子供時代に教師から「１から100までを順に足したら合計はいくつか」という問題を出されたとき即答して周囲を驚かせたそうだ。
彼は、
1+100=101
2+ 99=101
3+ 98=101
...
だから、101×50が答えになることをその場で思いついたか、知っていた。
計算の天才マーティン・ガードナーは777の二乗を計算するとき、まず777に23を足して計算しやすい800にした。彼は100までの二乗ならば答えを暗記していたので23の二乗は529だとすぐに分かった。
そこで、
（777+23）×（777-23）＋529
＝（800×754）＋529
を計算し、603729という答えを瞬時に計算した。
800×754は3桁の掛け算だが、実際には8×754を100倍するだけなので暗算も易しい。方法は違いそうだが、ガードナーは5桁の掛け算も似たようなトリックで、瞬時に計算できたらしい。
累乗計算の世界記録保持者ウィム・クラインは100桁の数の13乗を2分以下で行うことができるという。彼は150までの整数の対数を丸暗記してこの計算に用いている。
膨大な量の答えの暗記、計算の分割方法の知識が計算速度を飛躍的に高める文化概念ツールとして機能していると著者は指摘する。日本の珠算の上級者は暗算のときに頭の中でソロバンを動かすらしいが、これもツールの例といえそうだ。
つまり、生物学的な数のモジュールの能力個体差は小さいが、概念ツールを持つ人、持たない人の能力差は歴然としてしまうということ。数学の天才は概念ツールが生み出している可能性があるというのがこの本の見解。
最近、数学の国際コンテストで上位の中国では、日本とは違った九九の記憶法が取り入れられているらしい。１を掛けるものは省略。３×５と５×３は、３の段でやったら5の段では同じことなので省略し、５×５からはじめる。これによって九九の暗記項目が81個から36個に激減すると同時に、掛け算の処理の内容の理解が深まるという。数学に強いインドでは力技で20×20まで暗記させるというが、こうしたツールの有無が、日本が追い抜かれた理由なのかもしれない。
■一人で取り組んだ時間
数学の達人を作り上げたのは、一人で意図的な訓練に取り組んだとんでもなく長い時間であるというのがこの本の結論である。達人はそうでない人に比べて圧倒的に、練習時間が長く、無数の概念ツールを暗記していたり、組み合わせて使う工夫の知識を持っている。
音楽大学における調査では、天才的奏者は1万時間の練習を経ているが、平凡な奏者は4千時間程度だったそうだ。そして大抵は、天才たちは好き好んで一人で練習している。同じように、教育においては数学の学習を楽しく行うことで、上手になる循環環境をつくることが大切だとする。
伝説のインドの天才数学者ラマヌジャンは、貧乏で進学できなかった子供時代、一人で分厚い数学の辞典「純粋数学および応用数学における基本結果概要」にでてくる5000の公式、方程式を丸暗記していた。あるとき、彼は自分の数に関する考えを手紙に書いて、ケンブリッジ大学の数学教授へ送る。これを書いた人物が天才であることは間違いないと判断されて、大学への道が開かれたそうだ。好きで一人で取り組むことが、天才への道らしい。
この本の後半では数学的思考を説明するための問題がいくつか登場する。電車の中で意味を一人で取り組んでみた。30分以上も考えて、やっと納得した問題が以下。
「
スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません）
答えは3分の2
「スミス夫妻には子どもが二人いる。上の子は男の子、では下の子が女の子である確率は？」（双子ではありません）
答えは2分の1
二つの似た質問に対してなぜ答えがそうなるのか、異なるのか、直感的に分かる人は数学的思考ができる人なのだろう。どちらも2分の1だと思ってしまった私はまだまだダメでした。
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この本に載っているかは知りませんが、こんな面白い問題もあります。
「ある番組で、３つの扉の中から１つを選ぶと、その扉の後ろにある賞品がもらえるという企画があり、1つの扉には車、残り２つの扉の後ろにはヤギがいます。
あなたが１つ扉を選んだ後で、司会者はあなたが選んでいない、かつ後ろにヤギがいる扉を開けます。ここで、あなたは扉の選択を変更するチャンスが与えられます。
ヤギよりも車をもらったほうが嬉しいという前提で、扉を変えた方が得でしょうか？」
答え合わせです．
「
スミス夫妻には子どもが三人いる。ふたりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません）
答えは4分の3
これは正しいですか？
/* ネタばれを含んでますので問題がありましたら削除してください */
本文中の例題は数学というより言葉のあやのような…
著者としては、
「
スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません）
では、男の子を○、女の子を●としたとき、
（上の子、下の子）の組み合わせは
（○、○）、
（○、●）、
（●、○）、
（●、●）
の4通りで、
そのうちの、一人も男の子がいない組み合わせである
(●、●)
を除いた3通りの組みの中から、女の子を含む
（○、●）、
（●、○）
を選んで、男の子と女の子の生まれる確率は
同様に確からしいとして答え2/3といいたいのでしょう。
ですが、「ひとりは男の子だとわかっている。」という文のみでは、
「ふたりのうち少なくともひとりは男の子だとわかっている」
とまで解釈することはできません。
その文意を判断する力は数学とは別のところに存在しますし、
むしろそのような類推は数学的正確性の欠如と考えられます。
やられました〜。３０秒ほど考えて、やっとわかりました。あとの問題を先に聞いてくれれば、わかったかもしれませんけど（＾＾；
って、負け犬の遠吠えだな〜。
>「ひとりは男の子だとわかっている。」という文のみでは、
>「ふたりのうち少なくともひとりは男の子だとわかっている」
>とまで解釈することはできません。
なんで？
>>「ひとりは男の子だとわかっている。」という文のみでは、
>>「ふたりのうち少なくともひとりは男の子だとわかっている」
>>とまで解釈することはできません。
>なんで？
「ひとりは」という言い方は上か下かどちらかを特定して指す意味としても受け取れるからでしょう。
２問ならんで出題されているところから、この「ひとり」は上の子あるいは下の子をさした「ひとり」ではない意味としての「ひとり」なんだろうな、と意を汲むのがふつうでしょうが、なみさんがおっしゃるように、こうやって「意を汲む」のは数学的態度とは言い難いですね。
原文ではちゃんと「ふたりのうち少なくともひとりは」という言い方になっていたのに和訳する際にぬかったのではなかと推測します。
おもしろい記事ですね。(本は読んでませんが)公式を丸暗記と言っても、どういった場面で力を発揮するか(組み合わせとか)理解してるから暗記できたんじゃないかなぁとか思ったり。
>（777+23）＋（777-23）＋529
は
（777+23）*（777-23）＋529
の間違いですね
>>（777+23）＋（777-23）＋529
>は
>（777+23）*（777-23）＋529
>の間違いですね
>なぜ数学が「得意な人」と「苦手な人」がいるのか
橋本氏は「苦手な人」だった、というオチだろ。
ご指摘ありがとうございます。
式を修正しました。
＞橋本氏は「苦手な人」だった、というオチだろ。
文系人間ですのでオチというより前提ということで。。。
コメントも含め、非常に楽しく読ませていただきました。
数学的思考（ベイズの定理？）ができていたのか、
幸い問題は正しく解けたのですが、
最初「双子じゃない」という条件を見て
「双子だったら絶対同性になっちゃうからなー」
と思った自分は、生物学的思考ができていないようです(^^;
で、双子で同性or異性が生まれる確率がどれくらいかググってみたら、
一卵性と二卵性の確率はだいたい２：１であるとか、
一卵性でも世界で数十例ほど異性が生まれたケースがあるとか、
二卵性でも理論値では1/2だけど実際は同性に偏っているとか、
本当かどうかはわかりませんが、興味深い情報ができてきました。
http://br-apc.net/test/read.cgi/apc/000019/831-837
２３の２乗を暗記しているなら
777^2=(800-23)^2
=800^2+(800*-23)*2+23^2
=640000+(-18400*2)+529
=640000-36800+529
=603729
の方が簡単じゃない？
それと２３の２乗もこうすれば暗算楽かな
23^2=(20+3)^2
=20^2+(20*3)*2+3^2
=400+60*2+9
=529
shunnさんのコメントに対する個人的な意見なので厳しい反論はご容赦を．．．
２乗についての暗算には項の数（九九などで記憶している掛け算処理後の項の数）が多くないインド人の例が楽な方法だと思っています．項の数を多くすることは紙に書かない暗算ではお勧めできないと思います．
shunnさんのコメント中の２つめの方法は有名な(A*10+5)^2などのようにうまく２項目が整理できる一部の形式の時は非常に有効で
(A*10+5)^2=A(A+1)*100+25
が成立します．
ex. 25*25=625, 35*35=1225
なみ氏の説明で言いたいことは判るのだが、
どこが問題なのかよくわからない。
「●●」「●○」「○●」「○○」という四択
がそもそもの間違いであって、実際には、一人が
男（●）と条件が決定した時点で、「●●」「●○」
の二択になっている。
なぜなら、「○○」が排除されるのは当然として、
「●○」「○●」は片方が決定されている時点で
等価になっているから。
生まれた順序を考慮に入れるから判りづらくなるが、
実際には、兄弟姉妹だろうが二卵性双生児だろうが、
単純化すれば、
「●○」=先頭が最初に確定した条件
であって、最初に一人は男の子と決定した時点で
「○●」はありえない。
結果的にこの問題は「●●」「●○」の二択でしか
ない。
つまり、この問題は、単純なデータに「生まれた順序」
という別種の概念を故意に混同させることで問題を
ややこしくしている。
だから、この問題はそこに気付くかどうかが「問題」
であって、数学的思考というより日本語から「どこか
おかしい」と感じるかどうかの感性の問題と思われる。
>しろ氏
中学校の数学の参考書でもやられてはどうですか？
どうも根本的な間違いを犯されてそうなので。
>橋元氏
有名な数の数え方に、指を「折る」と「伸ばす」を0と1に対応させて2進法として数えるというものもあります。両手を使えば1024個の数を数えることが可能です。
問題を見たときに
「子供が男か女かなんて確率以前の問題じゃね？」
とか思った僕は数学苦手…orz
順番を考慮したら。
（○、●）
（●、○）
（●、●）
（●、●）
ってことにはならないの？
↑●:男、○:女です。
紛らわしくてゴメン
私が他のサイトに書いたコメントを転載します．
TOTO（サッカーくじ）の
一等（全試合正解）の確率と
二等（一試合を除き全試合正解）の確率も
似た感じですよね！
一等みんな男兄弟
二等一人を除きみんな男の兄弟
「スミス夫妻はサッカーくじを１つ買いました。二等以上（一等か二等）であることは分かっている。では二等である確率は？」
とおりすがりの者です
スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません）
の解答に紛れが生じる原因を考えてみました．
端的には，「もうひとり」の使われる状況が
日常会話にない状況だからだと思います．
問題文の状況を整理するとこうなります：
・二人の子供がいる
・どちらか知らないが男の中はその中にいる
・その男は二人いるかもしれないので，
その場合は無作為に選ばれているとする
（あるいは例えば年長の方を選ぶことに決めてもよい．
この部分は一見曖昧だが，結論はどうやっても同じ）
・そして，選ばれなかったもう一方の子供は女か？
ここで「もうひとり」が，誰に対するもう一人なのかを
明示せず，これこれの規則で選ばれた人に対する
もう一人，という抽象的な意味で用いられている
ことに注意してください．これが確率が
３分の２になる原因だと思います．
（なおこの問題でも，男の子がいるという情報のほかに
一人の子供をさして「この子は男の子だよ」という情報
が与えられれば，確率はもちろん２分の１です．）
とおりすがりの者です
スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません）
の解答に紛れが生じる原因を考えてみました．
端的には，「もうひとり」の使われる状況が
日常会話にない状況だからだと思います．
問題文の状況を整理するとこうなります：
・二人の子供がいる
・どちらか知らないが男の中はその中にいる
・その男は二人いるかもしれないので，
その場合は無作為に選ばれているとする
（あるいは例えば年長の方を選ぶことに決めてもよい．
この部分は一見曖昧だが，結論はどうやっても同じ）
・そして，選ばれなかったもう一方の子供は女か？
ここで「もうひとり」が，誰に対するもう一人なのかを
明示せず，これこれの規則で選ばれた人に対する
もう一人，という抽象的な意味で用いられている
ことに注意してください．これが確率が
３分の２になる原因だと思います．
（なおこの問題でも，男の子がいるという情報のほかに
一人の子供をさして「この子は男の子だよ」という情報
が与えられれば，確率はもちろん２分の１です．）
とおりすがりの者です
スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません）
の解答に紛れが生じる原因を考えてみました．
端的には，「もうひとり」の使われる状況が
日常会話にない状況だからだと思います．
問題文の状況を整理するとこうなります：
・二人の子供がいる
・どちらか知らないが男の中はその中にいる
・その男は二人いるかもしれないので，
その場合は無作為に選ばれているとする
（あるいは例えば年長の方を選ぶことに決めてもよい．
この部分は一見曖昧だが，結論はどうやっても同じ）
・そして，選ばれなかったもう一方の子供は女か？
ここで「もうひとり」が，誰に対するもう一人なのかを
明示せず，これこれの規則で選ばれた人に対する
もう一人，という抽象的な意味で用いられている
ことに注意してください．これが確率が
３分の２になる原因だと思います．
（なおこの問題でも，男の子がいるという情報のほかに
一人の子供をさして「この子は男の子だよ」という情報
が与えられれば，確率はもちろん２分の１です．）
スミス夫妻の問題が変に見える人は、文系の思考をされているんだと思います。
・箱に２個の球が入っている
・球は必ず赤か白である
・１個は赤であることが解っている
という条件で、もうひとつが白である確立は？と聞かれれば、何の違和感も無く３分の２って答えると思うんですよ。
以下の条件から、最後のひとつを消せるからです。（下の条件は箱の中身が解らない場合）
赤・赤
赤・白
白・赤
白・白
要するにあの問題が言いたい事は、「数学的な思考の難しさ」なんではないかと思うんだけど。
文章として提示された物から、「条件」や「要素」をキチンと整理する過程ってのは、間違いなく「数学的」でしょう。
ちなみに、二つあるうちで下の問題が２分の１であるのは、上で提示した条件から下二つを消せるからです。
最初に取り出すものが赤と確定した時点で、次に取り出すものが白である確立は？と聞いているからです。
ここで違和感を感じていらっしゃる方々は、「同様に確からしい」という概念をきちんと（教科書的に）理解されていないことに原因があるような気がしました。
2つのサイコロの出た目の組で、「2･3」と出る確率は「3･3」と出る確率より多いです。つまり、（2，3）という”組み合わせ”と（3，3）という”組み合わせ”は同様に確からしい事象ではないです。男の子女の子を、並べる順番を込めて考えないといけないのは、同様に確からしい事象が”組み合わせ”ではなく”順列”だからです。
ここで違和感を感じていらっしゃる方々は、「同様に確からしい」という概念をきちんと（教科書的に）理解されていないことに原因があるような気がしました。
2つのサイコロの出た目の組で、「2･3」と出る確率は「3･3」と出る確率より多いです。つまり、（2，3）という”組み合わせ”と（3，3）という”組み合わせ”は同様に確からしい事象ではないです。男の子女の子を、並べる順番を込めて考えないといけないのは、同様に確からしい事象が”組み合わせ”ではなく”順列”だからです。
屁理屈をこねてみた。
・箱に２個の球が入っている
・球は必ず赤か白である
・１個は赤であることが解っている
赤の球と白の球が１／２の確率で入っているとは書いてないなぁ。赤10000個と、白10個から抽出してたとしても上の条件と同じだ。そーゆー暗黙知は、どうなのかしらん。
当然男女の出生率も違いますしねｗ